命題１０
数が2つの数と単位の間に連続して比例してあるならば、それらと単位の間に連続して比例する数がいくつあろうとも、同じ量の数がそれら自身の間に連続して比例してある。
数DとEと数FとGがそれぞれ2つの数AとBと単位Cの間に連続して比例しているとする。
AとBの間に連続して比例していると同じ数が数AとBと単位Cのそれぞれの間に連続して比例していることをいう。
Hを作るためにDにFを掛け、KとLを作るために数DとFにHをそれぞれ掛ける。
さて、単位Cは数Dに対し同じようにDはEに対するから、それゆえにDがEを割り切ると同じ回数で単位Cは数Dを割り切る。しかし単位Cは数DをDの単位により割り切り、それゆえに数DもまたEをDの単位により割り切る。それゆえにDにDを掛けてEを作る。definitionⅦ．２０
再度、Cは数Dに対し同じようにEはAに対するから、それゆえにEがAを割り切ると同じ回数で単位Cは数Dを割り切る。しかし単位Cは数DをDの単位により割り切り、それゆえにEもまたAをDの単位により割り切る。それゆえにDにEを掛けてAを作る。
同じ理由でまたFにFを掛けてGを作り、FにGを掛けてBを作る。
そして、DにDを掛けてEを作りFを掛けてHを作るから、それゆえにDはFに対し同じようにEはHに対する。propositionⅦ．１７
同じ理由でまたDはFに対し同じようにHはGに対する。それゆえにEはHに対し同じようにHはGに対する。propositionⅦ．１８
再度、Dに数EとHを掛けてそれぞれAとKを作るから、それゆえにEはHに対し同じようにAはKに対する。しかしEはHに対し同じようにDはFに対し、それゆえにDはFに対し同じようにAはKに対する。propositionⅦ．１７
再度、数DとFにHをそれぞれ掛けてKとLを作るから、それゆえにDはFに対し同じようにKはLに対する。しかしDはFに対し同じようにAはKに対し、それゆえにAはKに対し同じようにKはLに対する。さらに、Fに数HとGをそれぞれ掛けてLとBを作るから、それゆえにHはGに対し同じようにLはBに対する。propositionⅦ．１８、propositionⅦ．１７
しかしHはGに対し同じようにDはFに対し、それゆえにDはFに対し同じようにLはBに対する。しかしDはFに対し同じようにAはKに対しそして同じようにKはLに対し、それゆえにAはKに対し同じようにKはLに対しそして同じようにLはBに対する。それゆえにA、K、L、Bは連続して比例している。
それゆえに、AとBの間に連続して比例していると同じ数が数AとBと単位Cのそれぞれの間に連続して比例している。
それゆえに、数が2つの数と単位の間に連続して比例してあるならば、それらと単位の間に連続して比例する数がいくつあろうとも、同じ量の数がそれら自身の間に連続して比例してある。
証明終了